Докажем одну из важнейших теорем элементарного анализа! Единственное требование - элементарное понимание деривативов.
Заявление:
Выше мы видим неформальное утверждение: прямая линия, соединяющая f (a) с f (b), равна градиентной линии в одной из точек между a и b. Однако в математике важно давать точные утверждения, а также наглядные, поскольку изображения иногда предполагают вещи, а вы этого не осознаёте! (например, в этом примере кривая никогда не опускается ниже линии, соединяющей f (a) с f (b).)
Теперь формальное заявление. Предположим, что функция непрерывна и дифференцируема на отрезке [a, b]. .
Тогда существует число, которое мы назовем c, такое, что выполняется приведенное ниже уравнение.
Доказательство
Хитрость здесь в том, чтобы переориентировать функцию.
Рассмотрим функцию, определенную ниже
Эта новая функция, которую мы назовем g (x), кодирует информацию о том, насколько увеличилось f (x) относительно линии, соединяющей (a, f (a)) и (b, f (b)). Вы могли заметить, что член (f (b) -f (a) / (b-a) - это градиент соединительной линии между (a, f (a)) и (b, f (b)).
При x = a и x = b мы можем использовать некоторую простую алгебру (попробуйте!), Чтобы проверить, что g (a) = g (b).
Теперь, на [a, b], поскольку g (x) непрерывен, мы можем использовать результат, который говорит, что g (x) получит свое минимальное значение и максимальное значение на [a, b]. Математики говорят, что [a, b] - это «компактное» подмножество действительных чисел.
Тогда у нас есть два случая.
Случай 1. Если максимальное и минимальное значения оба встречаются в конечных точках, то есть в x = a и x = b, то максимальное и минимальное значения, которые может принимать функция, одинаковы вдоль всего отрезка [a, b], поскольку g (a) = g (b). Проще говоря, если бы у нас был роллеркостер, и вы знали, что начальная и конечная точки имеют одинаковую высоту, и что эта точка является одновременно максимальной достигнутой высотой и минимальной высота достигнута, то высота должна оставаться постоянной на протяжении всей поездки. В этом случае g (x) везде одинакова, и некоторая алгебра показывает, что f (x) тогда должна быть прямой, соединяющей (a, f (a)) с (b, f (b)).
Случай 2. Если точка минимума или максимума находится в середине, то мы знаем из расчетов, что производная должна быть равна нулю в этой точке. Назовем эту точку c. (Возможно, вы увидите, к чему это идет!). Сначала прорабатываем производную:
Затем мы устанавливаем производную равной нулю в точке c (обратите внимание на переключение в обозначениях с df (x) / dx на f ’(x) с символом‘ для обозначения взятия производной)
Пока, наконец, мы не заключаем, что в этой точке c мы имеем
Итак, доказательство завершено.
