k-й фактор n
Факторы, математика, делители
Введение:
В области информатики и математики существует бесчисленное множество алгоритмов, способных эффективно решать сложные задачи. Одной из таких интригующих задач является нахождение k-го делителя заданного числа n. На первый взгляд эта проблема может показаться простой, но, углубившись в детали ее решения, мы обнаруживаем увлекательный алгоритмический подход, который не только решает проблему, но и демонстрирует элегантность математических рассуждений. В этой статье мы рассмотрим фрагмент кода JavaScript, который реализует алгоритм поиска k-го множителя числа n и шаг за шагом расшифровывает логику.
Понимание проблемы:
Учитывая целое положительное число n и целое положительное число k, цель состоит в том, чтобы найти k-й множитель числа n. Другими словами, нам нужно определить k-й положительный делитель числа n. Если такого делителя не существует, мы возвращаем -1.
Алгоритм:
Давайте углубимся в предоставленный код и разберем алгоритм, используемый для решения этой проблемы.
- Первоначальные проверки. Первым шагом в алгоритме является выполнение некоторых первоначальных проверок. Если k больше n, найти k-й коэффициент невозможно, поэтому мы возвращаем -1.
- Перебор делителей. Затем алгоритм переходит к перебору чисел от 1 до квадратного корня из n. Для каждого числа i он проверяет, является ли i делителем числа n (т. е. n % i === 0). Если это так, счетчик totalFactors увеличивается. Когда totalFactors становится равным k, мы нашли k-й фактор и возвращаем i как результат.
- Удвоение количества: после подсчета факторов до квадратного корня из n алгоритм удваивает количество totalFactors. Это удвоение объясняет множители, стоящие по другую сторону квадратного корня из n.
- Поправка на идеальные квадраты: если n — идеальный квадрат (где квадратный корень — целое число), мы вычитаем 1 из общего количества факторов. Эта корректировка необходима, поскольку точный квадрат имеет одинаковый коэффициент по обе стороны от квадратного корня.
- Проверка k по totalFactors: на этом этапе алгоритм проверяет, превышает ли k количество totalFactors. Если да, мы возвращаем -1, поскольку k-го фактора не существует.
- Нахождение позиции фактора. Алгоритм вычисляет позицию искомого фактора, вычитая k из totalFactors и затем добавляя 1.
- Поиск k-го фактора. Последний шаг включает в себя повторный перебор чисел от 1 до квадратного корня из n. На этот раз алгоритм подсчитывает делители и останавливается, когда делитель в нужной позиции (factorPos) найден. Соответствующий коэффициент затем рассчитывается как n, разделенный на делитель, и это значение возвращается как k-й коэффициент.
/**
* @param {number} n
* @param {number} k
* @return {number}
*/
var kthFactor = function(n, k) {
if(k > n) return -1;
let totalFactors = 0;
for(let i = 1; i <= Math.sqrt(n); i++){
if(n % i == 0){
totalFactors++;
if(totalFactors == k){
return i;
}
}
}
totalFactors *= 2;
if(Math.floor(Math.sqrt(n)) === Math.ceil(Math.sqrt(n))) {
totalFactors--;
}
if(k > totalFactors) return -1;
let factorPos = totalFactors - k + 1, pos = 0;
for(let i = 1; i <= Math.sqrt(n); i++){
if(n % i == 0){
pos++;
}
if(pos == factorPos) return n / i;
}
return -1;
};
Сложность времени и пространства:
Время: O(SQRT(N)) где N — заданное число
Пробел: O(1)
Вывод:
Этот процесс может показаться сложным, но он элегантно решает проблему нахождения k-го множителя заданного числа. Используя свойства делителей и природу идеальных квадратов, этот алгоритм демонстрирует, как математические знания могут привести к эффективным решениям при кодировании. Как мы выяснили в этой статье, фрагмент кода обеспечивает четкую реализацию этого алгоритма в JavaScript, что делает его доступным для практического использования.
В заключение, понимание и реализация подобных алгоритмов не только расширяют наш набор инструментов для решения проблем, но и углубляют наше понимание взаимосвязи математики и информатики.
